“Jalan Acak”. Bagaimana salah satu masalah paling terkenal dalam Matematika diselesaikan

Sebuah tim peneliti menggabungkan aljabar dan geometri untuk memecahkan masalah kuno “berjalan acak”, yang telah mempengaruhi berbagai bidang seperti biologi dan video game. Tim mengidentifikasi konsep geometris dasar yang menyatukan jalan acak tertentu dan membedakan jalan acak lainnya.

Pada tahun 2019, matematikawan di Institut Teknologi California memecahkan masalah kuno terkait proses matematika yang disebut “berjalan acak“, model yang menggambarkan lintasan yang terdiri dari a rangkaian langkah acak dan mandiri, dimulai dari a titik awal.

Tim yang juga berkolaborasi dengan peneliti dari Universitas Ben-Gurion, Israel, menemukan solusinya dengan kecepatan tinggidi malam inspirasi, menceritakan Mekanika Populer.

Solusinya disajikan dalam a artikel diterbitkan pada saat itu di majalah Sejarah Matematika.

Penulis utama artikel tersebut, Omer Tamuzyang didedikasikan untuk studi ekonomi dan matematika, menjelaskan bahwa tim menggunakan teori probabilitas dan menggunakan teori ergodik sebagai penghubung — pendekatan progresif dan interdisipliner yang dibantu oleh ahli matematika pemenang Hadiah Abel (“Nobel Matematika”).

Nomor penyataan diterbitkan pada saat itu oleh Caltech, Tamuz menjelaskan bahwa dia telah membagikan kemungkinan penemuan tersebut kepada murid-muridnya dan, keesokan harinya, dia mengetahui bahwa mereka mereka telah maju dan menyelesaikan masalahnya.

“Saya ingat berbicara dengan para siswa tentang kesimpulan yang telah kami capai mengenai masalah ini, dan keesokan paginya saya mengetahui bahwa mereka telah mencapai kesimpulan tersebut begadang dan berhasil menyelesaikannya“, ujar Tamuz.

Penemuan ini, dan masalah yang membantu tim mengungkapnya, kembali menjadi dasar kemampuan untuk mengidentifikasi hubungan antara cara berpikir rupanya berbeda.

“Jalan acak” adalah ungkapan umum untuk menunjukkan suatu metode pembangunan suatu rute berdasarkan keputusan yang dibuat secara acak setiap garpu.

Siapa pun yang pernah memainkan video game yang dihasilkan secara algoritmik, seperti Minecraft, Diablo, atau No Man’s Sky, pasti pernah menemukan jalan acak, dalam bentuk a penjara bawah tanah atau dari medan yang dihasilkan cara ini dengan pemrograman.

Prinsip dan gagasan teori jalan acak diterapkan di berbagai disiplin ilmu.

Os ahli biologi terpaksa berjalan-jalan secara acak perilaku model dan pergerakan hewan. Anda fisik menggunakannya untuk menggambarkan dan memodelkan perilaku partikel. Dan mempelajari cara mengimplementasikan versi proses ini telah menjadi proyek berkelanjutan bagi para ilmuwan komputer.

Beberapa jalan acak tampaknya berperilaku bergantung pada rute yang telah diambil, yang disebut “ketergantungan jalur“.Sepertinya yang lain mengabaikan “masa lalu” mereka dan akhirnya bertemu dengan rute lain yang mempunyai sejarah berbeda.

Justru perbedaan inilah yang terjadi bahwa Tamuz dan rekan-rekannya Joshua Frisch, Yair Hartman dan Pooya Vahidi Ferdowsi menggali dan menemukan solusi. Seperti yang diungkapkan Tamuz dalam pernyataannya:

“Mari kita bayangkan dua masyarakat: salah satu dari mereka mengalami kemajuan teknologi sementara yang lain mengalami bencana alam. Perbedaan ini akan bertahan selamanya, atau pada akhirnya akan hilang dan kita akan terlupakan bahwa suatu hari nanti ada keuntungannya?”, kata Tamuz dalam pernyataannya.

“Dalam perjalanan acak, sudah lama diketahui ada kelompok yang menyimpan kenangan tersebut, sementara Di kelompok lain, ingatan terhapusS. Namun sama sekali tidak jelas kelompok mana yang memiliki properti ini dan mana yang tidak—yaitu. apa yang membuat suatu kelompok memiliki ingatan? Itulah yang kami temukan”, detail ahli matematika tersebut.

Dengan kata lain: mengapa beberapa jalan acak mengalami kemunduran ke arah rata-rata dan yang lainnya tidak?

Saat memprogram menggunakan ide jalan acak, hal itu mungkin dilakukan secara sederhana menetapkan batasan atau parameter untuk memastikan bahwa jalurnya bertemu atau tidak. Namun dalam teori murni, masalahnya jauh lebih sulit dijelaskan.

Rahasia tim terdiri dari menggabungkan ide-ide dari aljabar dengan ide dari geometri dalam mendeskripsikan perjalanan acak, dan dalam mengeksplorasi hubungan ini untuk menyelidiki fenomena tersebut.

Berdasarkan pemikiran tersebut, peneliti menyimpulkan bahwa random walk itu memenuhi kriteria tertentu berdasarkan geometri vektor adalah yang berkumpul dengan semua yang tersisa. “Pada akhirnya, kami sangat senang telah memecahkan masalah terbuka yang sudah lama ada di bidang matematika,” Ferdowsi menyimpulkan.

Sederhana, bukan?