Matematikawan telah menemukan cara baru untuk membuat bentuk lingkaran

Matematikawan Richard Evan Schwartz berhasil menemukan solusi atas pertanyaan yang sudah berlangsung lama: berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan untuk membuat tori polihedral dengan sifat yang disebut kerataan intrinsik.

Bayangkan Anda ingin tahu cara apa yang paling efisien membuat catatan — objek matematika Aku berbentuk seperti donat — dari kertas origami. Namun torus yang merupakan permukaan ini memiliki tampilan yang sangat berbeda dengan bagian luar donat pastry berlapis kaca.

Alih-alih tampil nyaris mulus sempurna, torus yang Anda bayangkan itu tidak teraturdengan banyak wajah, yang masing-masing adalah a poligon. Dengan kata lain, Anda ingin membuat torus polihedral dengan permukaan yang bentuknya seperti itu segitiga atau persegi panjang.

Sosoknya yang tampak aneh itu akan menjadi lebih rumit untuk membangun daripada yang memiliki permukaan halus. Kompleksitas masalah hanya bertambah jika Anda memutuskan ingin membayangkan membangun sesuatu yang serupa, tetapi dalam 4 dimensi atau lebih.

Ahli matematika Richard Evan Schwartzdari Brown University, mengatasi masalah ini dalam sebuah penelitian baru-baru ini, dengan bekerja mundur dari torus polihedral yang ada untuk menjawab pertanyaan tentang apa yang diperlukan untuk membangunnya dari awal.

Di dalam kamu belajarpra-diterbitkan tahun lalu di arXivSchwartz berhasil menemukan a solusi terhadap permasalahan yang sudah berlangsung lama: Apakah yang jumlah minimum simpul (tepi) diperlukan untuk membuat tori polihedral dengan properti yang disebut kerataan intrinsik?

Jawabannya, menurut Schwartz, adalah delapan simpul. Pertama dia menunjukkan bahwa tujuh simpul saja tidak cukup. Dia kemudian menemukan contoh torus polihedral datar dengan 8 simpul.

“Sungguh luar biasa bahwa Rich Schwartz mampu menyelesaikan sepenuhnya masalah terkenal ini,” katanya. Jean-Marc Schlenkerahli matematika di Universitas Luksemburg, Amerika Ilmiah. “Masalahnya tampak mendasar, namun sudah terbuka selama bertahun-tahun.”

Penemuan Schwartz pada dasarnya memberikan jumlah minimum simpul yang dibutuhkan torus polihedral supaya bisa diratakan. Tapi satu detail – apa artinya menjadi “datar secara intrinsik” dan bukan sekadar “datar” — agak rumit untuk dianalisis. Gagasan ini juga penting dalam menghubungkan hasil Schwartz dengan isu konstruksi akar tori polihedral.

Sejak tahun 1960-an, para ahli matematika telah mengetahui bahwa objek matematika pada dasarnya datar memang ada. Tetapi temukan secara efektif benda-benda ini adalah cerita lain, catat Schwartz. Gambarkan tori polihedral sebagai datar secara intrinsik tidak persis setara untuk mengatakan memang begitulah adanya rencana seperti selembar kertas.

Alih-alih, berarti permukaan-permukaan tersebut mempunyai dimensi yang sama bahwa (atau, seperti yang dikatakan ahli matematika, “bersifat isometrik”) batang kayu yang dihancurkan hingga menjadi rata. “Cara lain untuk menyatakannya adalah jika kita menghitung jumlah sudut di sekitar setiap titik sudut, ini berjumlah 2π di mana-mana“, penjelasan Schwartz.

Menurut Schlenker, penemuan Schwartz sangat sejalan dengan spesialisasinya. Namun, selama bertahun-tahun, Schwartz sangat bingung dengan masalah yang mengesampingkannya.

Ahli matematika, yang bahkan memiliki halaman saat para penggemar mendiskusikan karyanya, dia pertama kali mendengar tentang teka-teki tersebut pada tahun 2019 ketika dua teman matematikawannya, Alba Málaga Sabogal dan Samuel Lelièvremereka memberikannya kepadanya.

“Mereka mengira saya akan tertarik dengan hal ini karena saya telah memecahkan sesuatu yang disebut masalah Thompson elektron dalam sebuah bola“, kata Schwartz. “Mereka mengira masalahnya ada hubungannya dengan mencari ruang konfigurasi dan mencoba melihat konfigurasi mana yang terbaik di antara kemungkinan yang tak terbatas, dan log origami ini memiliki rasa yang serupa“.

Tuan Schwartz awalnya tidak yakin. “Pada dasarnya, mereka mendorong wajah saya dan, pada satu titik, tahun berlalu. Saya sebenarnya mengira itu adalah masalah terlalu sulit“, katanya.

Kesulitannya datang dari dimensinya yang besar yang tampaknya terlibat. “Bahkan hanya untuk tujuh atau delapan simpul, sepertinya kita harus melihat a ruang dua puluh dimensi ganjil“, katanya.

Namun ketika ketiga ahli matematika tersebut bertemu lagi pada tahun 2025, Schwartz mengetahui bahwa teman serumah Lelièvre, Vincent Tugayetelah menemukan a contoh yang bekerja dengan sembilan simpul.

“Itu adalah hal yang sangat indah” yang ditampilkan Tugayé, seorang guru sekolah menengah dengan gelar doktor di bidang fisika, di pameran matematika di Paris, kata Schwartz. “Saya pikir: baiklah ini pasti yang terbaik“, tambah Schwartz, yang kemudian mencari tahu apakah intuisinya benar.

Untuk mengetahui apakah ada kasus dengan 7 atau 8 simpul akan berfungsiSchwartz fokus untuk menanggapi “Bagaimana cara memperkecil ukurannya?”, dan menghasilkan banyak ide tentang bagaimana melakukannya untuk kasus 7 simpul.

Namun, dia akhirnya tersandung dalam semacam hadiah matematika: artikel yang kurang diketahui dari tahun 1991 bahwa “mencakup sekitar 80% perjalanan untuk membuktikan bahwa hal itu tidak dapat dilakukan dengan tujuh simpul”, katanya. “Kemudian saya selesaikan saja pekerjaannya.”

Terus berpikir bahwa kasus delapan titik juga tidak akan berhasil, dia kemudian mencoba menggunakan a pendekatan serupauntuk membuktikan pernyataan ini. Ketika dia menemukan itu tidak dapat mengecualikan beberapa kasusmemutuskan untuk menemukan properti apa yang dibutuhkan torus delapan titik agar datar secara intrinsik.

Dengan pendekatan yang dia gambarkan sebagai “pembelajaran mesin yang sangat diawasi”, Schwartz kemudian menemukan contoh delapan simpul itu berhasil.

“Yang paling penting, menurut saya, adalah bahwa ini adalah contoh lain dari keterampilan khusus yang dikembangkan Rich Schwartz, yang menggabungkan penyelidikan matematika tradisional dengan metode komputasi,” kata Schlenker.

“Dia temukan ide geometris yang indah untuk membuktikan beberapa hasiltetapi juga menulis program yang rumit untuk mencari dan menemukan contoh. Sangat sedikit ahli matematika yang mampu menyatukan kedua aspek ini secara harmonis”, Schlenker menyimpulkan.